Introduction
The Cosine Rule involves two main equations, A2 = B2 + C2 – 2BC Cos α, which is used to find one unknown length if the other two are known, and Cos α = ( B2 + C2 – A2 ) ÷ 2BC, which is a rearrangement of the previous, and used in order to find a given angle, when all three sides are known. After this, we employ the Sine Rule to find the other two angles as we did before, so this is a good example of using both formulae in conjunction, where the Sine Rule can do what it can, and the Cosine Rule is used for its own characteristic abilities.
About the Diagram
From the triangle above, we are intending to find the length of the Side A, as it is opposite an angle of 40°, which is formed when lengths of three and four inches, respectively, join there. When this happens, given these specific values, A can have only one possible value, so let ’s find out what it is :
But, hang on a minute, Wear ‘em out Wilf, this value refers to A², not A itself, so we find the square root of this, then we ’re right.
√6.615 ” = 2.572 ” , which is the correct answer.
It stands also to reason it is the shortest side, since it is opposite the smallest angle.
That done, what we can try next, is to work out what the other two angles of our triangle are, especially as we now know all three sides. Let ’s look at our triangle again, this time with special reference to our missing angles, which we ’ll find out.
But since we do, we can rearrange this, by realising that the square of the side opposite the angle in question is subtracted from the sum of the squares of the other two sides, and all this ( in parentheses in the formula ) is divided by twice the product of the other two lengths. So, following this pattern, we can develop a formula for each of our unknown angles :
We can find out the Cosines of each of the other two angles, by putting our three length values in their appropriate places, then using the Arcus Cosine Function on the calculator to work out the size of the angles. Let us just be aware, that because Side A is not an exact value, we may get some rounding error, unless we work out a way to avoid that by clever use of the calculator.
This all leads up to the Proof
And this is all about right. The three angles I got add up to 179.999°, so that isn ’t too far off. One way to be super accurate would be to put side A ’s value into the calculator ’s memory. We also see a Negative Cosine value, which again refers to the wave shapes both Cosine and Sine make on the axes, so that some take positive y values, and others take negative. On that graph, the angle value corresponds to x, while the Trigonometric Function value equals y.
In fact, we shall show some of this in order to prove the Cosine Rule.
The verification of the Cosine Rule comes from a variation in the Pythagorean Theorem.
Say it is So
But say the angle is not 90º. Now for triangles it should be noted that 0º < θ < 180º, such that none of the single angles within a triangle can reach this 180º, as this number is the sum of all three angles within a Euclidean Triangle, and having even one of 180º will make a flat line, if You can get what I mean ( see illustration below ). When an angle is between 0º and 90º, its Cosine is Positive, and if between and 180º, the Cosine shall be Negative. ( See illustration below ).
If now we make a triangle like the one before in the illustration entitled Pythagoras, but with the angle less than ninety degrees, causing the side opposite to be shorter than it was before, we shall see.
What Next
A² + B² = C² + k, where k is some value. This implies that C² = A² + B² – k, where k depends upon the value of θ.
If θ is, as shown above, between 0 and 90 degrees, then k is a positive value, and subtracting it from A² + B² will make C² less than A² + B².
But if our angle θ is such that 90° < θ < 180°, ( noting that in these, 0°, 90° and 180° are never included ), then subtracting the resulting negative value makes C² > (A² + B²).
About the Diagram
From the illustration above, we can see the difference in various values of C², depending on what range the angle θ is taking, so this shows us visually what I mean. As the angle increases, if the other two sides remain the same, the side C opposite the angle θ is allowed to widen, thus enlarging the possible square on this side.
Explanation
So in the illustration above, using the Diagrams of the two triangles, which are both in fact the same triangle, but with different features drawn in, along with algebraic manipulation of the Trigonometric identities shown, the Cosine Rule has in one way been proven, and the equation finally found can not only be rearranged for whatever purpose is required, but can be showed to apply to all three angles.
Actually, looking at the values W and x that I devised to find two expressions for Cos Θ to do with the lengths B and A respectively, we find that :
So the idea is that the three areas on the triangle combine to equal that on the right in the illustration below. This is a rearrangement of A² + B² – 2AB CosΘ = C² → C² + 2AB CosΘ = A² + B², or also , C²new + AW + Bx = C²old , and , C²old – C²new = AW + Bx.
Then : C²new = C²old – ( AW + Bx ) = A² – AW + B² – Bx = A( A – W ) + B( B – x ).
Concerning the Equivalence Relationship
Let us look at the last statement before the previous illustration :
C²new = C²old – ( AW + Bx ) – now, where C²old = A² + B², this means that C²new = A² + B² – ( AW + Bx ) = A² + B² – AW – Bx = A² – AW + B² – Bx = A( A – W ) + B( B – x ).
That is, C²new = A( A – W ) + B( B – x ).
This then is saying that the square on the side C of the diagram above will be the sum of the two, as they turn out, rectangular, areas on each of the other two sides, as shown in the diagram below.
Concerning the Illustration above
As has been noted, C²new = A( A – W ) + B( B – x ), such that the two rectangular areas, each on sides of the triangle above, combine to equal the square area C²new on the remaining side.
If we rearrange some equations and alter the diagram above into two related ones, we can see how this is the case.
In Closing
So there is the introduction to, and proof of, the Cosine Rule, which we can use to either find all the angles when we know all the sides, or some of the sides if we know and angle and the other two sides, and so it is. Use well.
Disclaimer
As much as some of this Hub contains certain Mathematical knowledge accessible in the public domain, and not subject to any Copyright, other information has been drawn from textbooks which themselves are Copyright, but only in the sense of how they deliver the information which itself is shared and sometimes ancient Mathematical knowledge. Other information can be found on Wikipedia ( Copyright 2014, the Wikimedia Foundation ), which is a good source of information. Part of this is also my own discovery, but may also independently have been found by others. Reference to the comic book Character Wear ’em Out Wilf relates to the British publication Whizzer and Chips, which our family used to enjoy many decades ago, published 18 Oct. 1969 – 27 Oct. 1990 by Fleetway and IPC, and contained 1092 issues. Like me, everything he touched wore out or broke very quickly. That is, he did not wear me out by touching, but rather, if I use something, sometimes it falls to bits. But hopefully these Hubs won’t.
Some of the illustrations in this particular Hub are my own, and have primarily been done using Microsoft™ Paintbox, edited from illustrations done using Microsoft™ Word. Others are, as noted, from Wikipedia. Any quote or part of this material which seems to belong to any other author should be treated as such, and I claim no ownership of anything I did not myself invent or discover, nor of any obvious copyright, trade mark, or registered trade mark.
The Adventure continues in the next Hub on the Tangent Law .
Also please check out the other Hubs, The Maths They Never Taught Us – Part One , The Maths They Never Taught Us – Part Two , The Maths They Never Taught Us – Part Three , The Very Next Step – Squares and the Power of Two , And then there were Three – a Study on Cubes, Moving on to Higher Powers – a First look at Exponents, The Power of Many More – more on the Use of Exponents, Mathematics – the Science of Patterns , More on the Patterns of Maths , The Shape of Things to Come , Mathematics of Cricket , and Trigonometry to begin with.
Just take a good look at it, and note how interesting it all is, then see if you can come up with anything else along the same lines. As usual, I would appreciate any comments, feedback and suggestions which would be given due credit, or indeed have a go and publishing Your ideas Yourselves, but firstly, by all means, add Your comments – it’s a free Country.
, The Wonder and Amusement of Triangles – Part Four : the Cosine Rule www.ozeldersin.com bitirme tezi,ödev,proje dönem ödevi bitirme tezi örnekleri,tez hazırlama kuralları,tez merkezi, ,,bitirme tezi örnekleri ,bitirme tezi örneği ,bitirme tezi konuları ,örnek bitirme tezi ,lisans bitirme tezi ,lisans bitirme tezi örnekleri ,bitirme tezi indir ,bitirme tezi yazım kuralları ,endüstri mühendisliği bitirme tezi konuları ,bitirme tezi nedir ,bitirme tezi sunumu ,bitirme tezi ingilizce ,üniversite bitirme tezi ,bitirme tezi kapağı ,ktü bitirme tezi ,bitirme tezi önsöz ,tanrının bitirme tezi ,bitirme tezi pdf ,bitirme tezi örnek ,bitirme tezi kuralları ,bitirme tezi taslağı ,bitirme tezi pornosu , ,tez hazirlama ,tez hazırlama merkezleri ,tez hazırlama fiyatları ,tez hazırlama teknikleri ,tez hazırlama programı ,tez hazırlama yönergesi ,tez kapağı hazırlama ,tez içindekiler hazırlama , ,bitirme tezi nasıl hazırlanır ,bitirme tezi nasıl yazılır ,yüksek lisans tezi nasıl yazılır ,yüksek lisans tezi nasıl hazırlanır ,doktora tezi nasıl yazılır ,lisans tezi nasıl yazılır , ,tez merkezi ,tez hazırlama merkezi ,ödev tez merkezi ,türkiye tez merkezi ,tez yazim merkezi ,tez tarama merkezi ,tez araştırma merkezi ,osym tez merkezi ,tez arama merkezi ,akademi tez merkezi ,istanbul tez merkezi ,tez proje yazım merkezi ,yüksek öğretim tez merkezi , ,tez yazma ,tez yazma fiyatları ,tez yazma teknikleri ,tez yazma programı ,tez yazma kurallari , ,odev ,ödev kapağı hazırlama ,odev kapaklari ,ödev yapma siteleri ,ödev hazırlama ,tez ödev ,ödev yapılır ,ödev yapan siteler ,ödev kapakları hazırla ,odev sitesi ,ödev bul ,ödev hazırlama siteleri ,ödev bulma siteleri ,odev tez ,ödev yaptırmak istiyorum ,odev siteleri , ,yüksek lisans proje örnekleri ,yüksek lisans proje konuları ,tezsiz yüksek lisans proje örnekleri ,yüksek lisans tez ,lisans tez , ,bitirme projesi ,bitirme projesi örnekleri ,bitirme projesi örneği ,bitirme projesi konuları ,lisans bitirme projesi ,bilgisayar mühendisliği bitirme projesi örnekleri , ,tez konulari ,yüksek lisans tez konuları ,muhasebe tez konuları ,kamu yönetimi tez konuları ,psikoloji tez konuları ,ekonomi tez konuları ,halkla ilişkiler tez konuları ,maliye tez konuları ,insan kaynakları tez konuları ,bankacılık tez konuları ,dış ticaret tez konuları ,hazır tez konuları ,finans tez konuları ,endüstri mühendisliği tez konuları ,maliye bölümü tez konuları ,turizm tez konuları ,lisans tez konuları ,besyo tez konuları ,yönetim ve organizasyon tez konuları ,lojistik tez konuları ,muhasebe ile ilgili tez konuları ,istatistik tez konuları ,kimya tez konuları ,iktisat tez konulari ,doktora tez konuları ,bankacılıkla ilgili tez konuları ,biyokimya tez konuları ,ekonometri tez konuları ,bilgisayar tez konuları ,gazetecilik tez konuları ,hukuk tez konuları ,finansla ilgili tez konuları ,sosyoloji tez konulari , ,tez konusu belirleme ,tez konusu bulma ,tez konusu ,tez konusu bul ,tez konusu bulmak ,iktisat tez konusu ,tez konusu seçme ,doktora tez konusu ,tez konusu arama , ,lisans bitirme tezleri ,doktora tezleri ,lisans tezleri ,üniversite tezleri ,üniversite bitirme tezleri ,iktisat tezleri ,yuksek lisans tezleri ,pazarlama tezleri ,bitirme tezleri örnekleri ,turizm tezleri ,bankacılık tezleri ,uluslararası ilişkiler tezleri ,işletme tezleri ,araştırma tezleri ,eğitim tezleri , ,tezler ,örnek tezler ,pazarlama ile ilgili tezler ,hazir tezler ,yapılmış tezler ,bankacılıkla ilgili tezler ,ödev ve tezler ,uluslararası tezler , ,bitirme ödevi ,bitirme ödevi örnekleri ,bitirme ödevi örneği ,bitirme ödevi nasıl hazırlanır ,bitirme ödevi konuları , ,yüksek lisans tez örnekleri ,tez ornekleri ,lisans tez örnekleri ,bitirme tez örnekleri ,tez örnekleri indir ,tez anket örnekleri ,besyo tez örnekleri ,muhasebe tez örnekleri ,üniversite tez örnekleri ,sakarya üniversitesi tez örnekleri , ,tez yazim kurallari ,tez yazım kılavuzu ,tez yazım formatı ,tez yazım ,lisans tez yazım kuralları ,tez yazım programı ,ege üniversitesi tez yazım kılavuzu ,tez yazım teknikleri ,tez yazim klavuzu ,ankara tez yazım merkezleri ,yıldız teknik üniversitesi tez yazım kılavuzu ,ytü lisans tez yazım kılavuzu , ,tez nasil yazilir ,tez ödevi nasıl hazırlanır ,tez nasıl yapılır ,tez nasil hazirlanir ,tez konusu nasıl bulunur ,lisans tez nasıl hazırlanır , ,tez siteleri ,tez arama siteleri ,tez araştırma siteleri ,tez indirme siteleri ,tez bulma siteleri ,ödev tez siteleri , ,işletme tez konuları ,işletme bölümü tez konuları ,tez konuları işletme ,işletme tez konusu ,işletme yönetimi tez konuları ,işletme tez , ,doktora tezi ,lisans tezi ,lisans tezi örneği ,yuksek lisans tezi ,yüksek lisans tezi örneği ,pazarlama tezi , ,pazarlama tez konuları ,pazarlama tez konusu ,pazarlama ile ilgili tez konuları ,pazarlama tez ,pazarlama tez örnekleri , ,uluslararası ilişkiler tez konuları ,uluslararası ilişkiler bölümü tez konuları ,uluslararası tez arama ,siyaset bilimi ve uluslararası ilişkiler tez konuları ,uluslararası ilişkiler bitirme tez konuları , ,tez ,tez arama ,tez tarama ,tez indir ,tez yazan yerler ,tez yazmak ,tez nedir ,tez önerisi örneği ,tez bul ,tez ödevleri ,tez formatı ,tez yazimi ,tez sitesi ,tez arama motoru ,tez yazdırmak istiyorum ,örnek tez önerileri ,tez araştırma ,tez yazilir ,tez çalışmaları ,yok tez arama ,tez ödevi ,tez danışmanlığı ,osym tez ,tez danışmanlık ,tez ara ,tez hazırlamak ,tez bulma ,tez merkezleri ,ücretli tez yazımı ,tez proje ,örnek tez yazımı ,tez danışmanı ,tez yazdirma ,tez ornegi ,tez destek ,tez yardım ,san tez projeleri ,tez yazdırmak isteyenler ,tez başlıkları ,ornek tez ,hazır tez indir ,istanbul tez ,tez projesi ,tez bankasi ,tez yaptırma ,tez yazanlar ,tez yazdırmak ,akademik tez ,tez kapaklari ,tez hazırlanır ,üniversite tez ,hazir tez ,tez düzenleme ,proje tez ,tez önerileri ,tez analizi ,tez yapan yerler ,tez araştır ,örnek tez çalışması ,tez düzeltme ,tez ler ,bilimsel tez ,tez araştırması ,tez yazılır ankara ,ankarada tez yazan yerler ,tez yazılır istanbul ,sakarya üniversitesi tez ,tez yazımı ankara ,tez arsivi ,tez yapılır ,tez istanbul ,tez çevirisi ,tez başlığı , ,bitirme projeleri ,uluslararası ilişkiler bölümü ,lisansüstü eğitim ,iktisadi ve idari bilimler ,mezuniyet projesi ,üniversite bitirme projeleri ,yıldız teknık unıversıtesı ,elektronik bitirme projeleri ,idari bilimler fakültesi ,yıldız teknik ü ,uluslararası ilişkiler fakültesi ,yazim kilavuzuzu ,iktisadi ve idari bilimler fakultesi ,üniversite kılavuzları ,uluslararası ılıskıler derslerı , , , ,